Câu 8: Trang 93 - sgk hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng ($\alpha $) tiếp xúc với mặt cầu (S): $x^{2}+y^{2}+z^{2}-10x+2y+26z+170=0$ và // với hai đường thẳng:
(d) : $\left\{\begin{matrix}x=-5+2t & & \\ y=1-3t& & \\ z=-13+2t& & \end{matrix}\right.$
(d') : $\left\{\begin{matrix}x=-7+3t & & \\ y=-1-2t& & \\ z=8& & \end{matrix}\right.$
Bài Làm:
Mặt cầu có tâm $I(5;-1;-13)$
Bán kính: $R=\sqrt{25+1+169-170}=5$
Theo bài ra: phương trình mặt phẳng ($\alpha $) // với hai đường thẳng d và d'
=> $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=\overrightarrow{u_{d}}\wedge \overrightarrow{n_{d'}}=(4;6;5)$
=> Phương trình mp($\alpha$) có dạng: $4x+6y+5z+D=0$
Mặt khác: mp($\alpha$) tiếp xúc với mặt cầu (S)
=> $d(I,(\alpha ))=R<=>\frac{\left | 4.5+6.(-1)+5.(-13)+D \right |}{\sqrt{16+36+25}}=5$
<=> $\left | D-5 \right |=5\sqrt{77}$
<=> $D=51 \pm 5\sqrt{77}$
=> Hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:
$(\alpha_{1}): 4x+6y+5z+51+5\sqrt{77}=0$
$(\alpha_{2}): 4x+6y+5z+51−5\sqrt{77}=0$