Chuyên đề Toán 12: Tóm tắt lý thuyết về không gian Oxyz

Tóm tắt lý thuyết về không gian Oxyz

Trong không gian Oxyz cho điểm A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C), D(x_D, y_D, z_D) và vectơ a=(a₁, a₂, a₃), vectơ b=(b₁, b₂, b₃) thì:

1. Phép cộng trừ vectơ, tích vô hướng của hai vectơ (giống như trong mặt phẳng Oxy)

• a ± b=(a₁ ± b₁, a₂ ± b₂, a₃ ± b₃).
• k a=(k.a₁, k.a₂, k.a₃).
• a . b=a₁.b₁+a₂.b₂+a₃.b₃.
• cos (a, b)=a . b / |a| . |b|  ⇒  a . b=0 ⇔ a ⊥ b

• AB=(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)

2. Module của một vectơ (độ dài vectơ)

• |a|=√(a₁²+a₂²+a₃²).
• |AB|=√((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²+(z_B-z_A)²).

3. Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ

[a, b]=(|a| . |b| . sin (a, b), -|a| . |b| . sin (a, b), |a| . |b| . sin (a, b))

Chú ý:

• [a, b] ⊥ a, [a, b] ⊥ b.
• |[a, b]|=|a| . |b| . sin (a, b).
• a, b cùng phương khi [a, b] = 0.
• a, b, c đồng phẳng khi [a, b] . c=0.

Cách bấm máy để tính tích có hướng của hai vectơ

• Bước 1: Nhấn mode 8, chọn 1.
• Bước 2: Nhập x_A, y_A, z_A của vectơ a.
• Bước 3: Nhấn Shift 5, nhấn chọn 1. Ta nhấn số 2, nhấn số 1 rồi nhập dữ liệu cho vectơ b.
• Bước 4: Nhấn AC, nhấn shift 5, nhấn 3 để chọn vectơ a. Tiếp tục nhấn Shift 5, nhấn 4 để chọn vectơ b.

Ứng dụng

• Tính diện tích hình bình hành ABCD: S_ABCD=|[AB, AC]|.
• Tính diện tích tam giác ABC: S_ABC=1/2 |[AB, AC]|.
• Thể tích hình hộp ABCDA'B'C'D': V=|[AB, AD]| . AA'.
• Tính thể tích hình tứ diện ABCD: V=1/6 |[AB, AC]| . AD.
• Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng |[AB, AC]|=0.
• Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng: [AB, AC] . AD=0

4. Tọa độ trung điểm, trọng tâm.

• I là trung điểm của AB khi đó {x_I=(x_A+x_B)/2, y_I=(y_A+y_B)/2, z_I=(z_A+z_B)/2}.
• G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó {x_G=(x_A+x_B+x_C)/3, y_G=(y_A+y_B+y_C)/3, z_G=(z_A+z_B+z_C)/3}.
• G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi đó {x_G=(x_A+x_B+x_C+x_D)/4, y_G=(y_A+y_B+y_C+y_D)/4, z_G=(z_A+z_B+z_C+z_D)/4}.

Bài tập & Lời giải

Câu hỏi thường gặp

Câu hỏi 1:

Có bao nhiêu phép cộng trừ vectơ trong không gian Oxyz?

Trả lời:

Trong không gian Oxyz, có vô số phép cộng trừ vectơ.

Câu hỏi 2:

Module của một vectơ được tính như thế nào?

Trả lời:

Module của một vectơ được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần của vectơ đó.

Câu hỏi 3:

Ứng dụng của tích có hướng của hai vectơ là gì?

Trả lời:

Tích có hướng của hai vectơ được sử dụng để tính diện tích, thể tích và kiểm tra tính đồng phẳng của các hình học trong không gian.

Kết luận

Trên đây là tóm tắt lý thuyết về không gian Oxyz. Các khái niệm về phép cộng trừ vectơ, tích vô hướng, module của vectơ và tích có hướng đã được trình bày chi tiết. Đồng thời, cũng đã trình bày các công thức và ứng dụng của các khái niệm này trong thực tế. Hi vọng rằng thông qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về không gian Oxyz và các khái niệm liên quan.