|
Gọi h là chiều cao của hình chóp, a là độ dài cạnh bên của hình chóp. Ta có $$R=\frac{a^{2}}{2h}.$$ |
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $\frac{a \sqrt{21}}{6}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a}{2}$.
Áp dụng công thức $R=\frac{7a}{12}$.
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
|
Gọi h, r là chiều cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có $$R=\sqrt{(\frac{h}{2})^{2}+r^{2}}.$$ |
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA=a$ và vuông góc với đáy (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
$r=AG=\frac{2}{3} AM= \frac{a \sqrt{3}}{3}$, h=SA=a.
Áp dụng công thức, ta có $R=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a \sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{a \sqrt{21} }{6} $.
Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $\widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy (ABC). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
|
Gọi $R_{b}, R_{d}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến mặt bên đó và đáy. Ta có $$ R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}.$$ |
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
Giải: Giao tuyến của (SAB) với (ABCD) là AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a \sqrt{2}}{2}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Áp dụng công thức $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{21}}{6}$.
Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a \sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a \sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA=SB=a, $\widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Để tính bán kính của một hình cầu nằm trong một hình chóp đều, bạn có thể sử dụng công thức sau:
$$R=\frac{a^{2}}{2h}$$
Để tìm bán kính của một hình cầu ngoại tiếp một hình chóp, bạn có thể sử dụng công thức sau:
$$R=\sqrt{(\frac{h}{2})^{2}+r^{2}}$$
Để tính bán kính của một hình cầu ngoại tiếp một hình chóp có độ dài giao tuyến, bạn có thể sử dụng công thức sau:
$$R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}$$
Trong bài viết này, chúng ta đã thảo luận về các phương pháp khác nhau để tính bán kính của một hình cầu nằm trong hoặc ngoại tiếp một hình chóp. Các công thức này có thể được áp dụng cho các loại hình chóp khác nhau, bao gồm hình chóp đều và hình chóp có hình đáy khác nhau. Bằng cách hiểu các khái niệm và công thức này, bạn có thể giải quyết các bài toán liên quan đến bán kính của hình cầu trong hình chóp một cách hiệu quả hơn.
Hãy nhớ luyện tập các khái niệm này thông qua các bài tập được cung cấp để nâng cao hiểu biết và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.