Phương pháp 1: Giải bằng hình thức bài viết
Phương pháp 2: Sử dụng máy tính
Ví dụ 1: Cho tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin ^{2}x}\sin x \cos^{3}xdx$. Nếu chúng ta thay đổi biến số $t=\sin ^{2} x$ thì
A. $I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.
B. $I=2 [\int_{0}^{1}e^{t}dt + \int_{0}^{1}te^{t}dt]$.
C. $I=2\int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.
D. $I=\frac{1}{2}[\int_{0}^{1}e^{t}dt+\int_{0}^{1}te^{t}dt]$.
Giải pháp: Đáp án A
Phương pháp 1: Bằng hình thức bài viết
Cho $t=\sin ^{2} x \Rightarrow dt=2\sin x \cos x dx$
Thay đổi giới hạn $x=0 \Rightarrow t=0$, $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$.
Vậy $I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.
Phương pháp 2: Chúng ta chỉ cần tính tích phân đã cho và tích phân trong các lựa chọn đáp án. Nếu sự khác biệt bằng 0, thì đó là đáp án đúng.
Tính $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin ^{2}x}\sin x \cos^{3}xdx$
Tính tích phân trong lựa chọn A
Ví dụ 2: Giả sử $I=\int_{-2}^{0}\frac{3x^{2}+5x-1}{x-2}dx =a \ln \frac{2}{3}+b$. Khi đó giá trị của a+2b là
A. 30.
B. 40.
C. 50.
D. 60.
Giải pháp: Đáp án B
Phương pháp 1: Tự làm (chia tử số cho mẫu số)
Phương pháp 2: Sử dụng máy tính
Đầu tiên, tính tích phân $I=\int_{-2}^{0}\frac{3x^{2}+5x-1}{x-2}dx =a \ln \frac{2}{3}+b$ và gán cho A
Bây giờ, giải hệ phương trình với a+2b trong các lựa chọn đáp án. Chọn đáp án có kết quả đẹp.
Đáp án A
Đáp án B
Đáp án C
Đáp án D
Ví dụ 3: Giả sử $I=\int_{1}^{5}\frac{1}{x\sqrt{3x+1}}dx=a\ln 3+b \ln 5$. Khi đó giá trị của $a^{2}+ab+4b^{2}$ là
A. 6.
B. 9.
C. 8.
D. 11.
Giải pháp: Đáp án A
Phương pháp 1: Đặt $t=\sqrt{3x+1}$.
Phương pháp 2: Sử dụng máy tính
Đầu tiên, tính tích phân và gán cho A
Vì cả hai phía của tích phân đều được biểu diễn dưới dạng ln, nên chắc chắn tích phân cũng có dạng ln. Vì vậy, ta có $A=\ln x \Leftrightarrow X=e^{A}.$. Tính giá trị của biểu thức $e^{A}$
Vậy $X=\frac{9}{5}$. Do đó, $\ln \frac{9}{5}=2 \ln 3 -\ln 5$ hoặc $a=2, b=-1$.
Lưu ý: Tôi khuyến nghị giải các bài toán bằng hình thức bài viết vì nó sẽ nhanh hơn, trừ những bài toán thực sự phức tạp.
Trả lời: Có hai phương pháp tổng quát để giải tích phân: giải bằng hình thức bài viết và sử dụng máy tính.
Trả lời: Để giải tích phân bằng phương pháp hình thức bài viết, làm theo các bước sau:
Trả lời: Để giải tích phân bằng máy tính, làm theo các bước sau:
Tóm lại, giải tích phân đòi hỏi hiểu biết tốt về các phương pháp và kỹ thuật tổng quát. Bằng việc luyện tập và áp dụng những phương pháp này, bạn có thể thành công trong việc giải quyết nhiều bài toán tích phân khác nhau. Hãy luôn kiểm tra kết quả của bạn và sử dụng máy tính khi cần thiết. Giải tích phân có thể thách thức, nhưng với sự luyện tập và kiên nhẫn, bạn có thể nắm vững kỹ năng quan trọng này trong toán học.