A. $\frac{\sqrt{5}+5 \sqrt{13}}{5}$.
B. $\sqrt{5}+5 \sqrt{13}$.
C. $\sqrt{2}+\sqrt{13}$.
D. $\sqrt{2}+2 \sqrt{13}$.
Giải: Đáp án C
Gọi $z=x+yi, (x, y \in \mathbb{R})$ có điểm M (x,y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ.
Ta có $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$.
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{5}(1)$.
Đặt A(1,1), B(3,2) thì từ (1) ta có: $AM+BM=\sqrt{5} (2)$.
Mặt khác $\overrightarrow{AB}=(2,1) \Rightarrow AB = \sqrt{5}$ nên M thuộc AB.
Cách 1: Sử dụng hình vẽ
Nhận xét rằng $\widehat{OAB}$ là góc tù ta có $M=|z_{\max}|=OB=\sqrt{13}$ và $m=|z|_{\min}=OA=\sqrt{2}$.
Vậy $M+m=\sqrt{2}+\sqrt{13}$.
Nhận xét: Một sai lầm thường gặp là đánh giá $|z|_{min}=d(O,AB)=\frac{\sqrt{5}}{5}$ nhưng do góc $\widehat{OAB}$ là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho $ OM \perp AB$.
Cách 2: Sử dụng hàm số
Ta có phương trình đoạn thẳng AB: x-2y+1=0 với $x \in [1,3], y \in [1,2]$.
$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(2y-1)^{2}+y^{2}}=\sqrt{5y^{2}-4y+1}$.
Xét hàm số $f(y)=5y^{2}-4y+1$ với $y\in [1,2].$
$f_{\max}=13, f_{\min}=2$. Suy ra $m=\sqrt{2}, M=\sqrt{13}$.
Câu 1: (Đề minh họa số 3) Xét số phức z thỏa mãn $|z+2-i|+|z-4-7i|=6 \sqrt{2}$. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $|z+1-i|$. Tính $P=m+M$.
A. $P=\sqrt{13}+\sqrt{73}$.
B. $P=\frac{5 \sqrt{2}+2 \sqrt{73}}{2}$.
C. $P=5 \sqrt{2}+\sqrt{73}$.
D. $P=\frac{5 \sqrt{2}+\sqrt{73}}{2}$.
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức z+2i. Tính M+m.
A. $\frac{ \sqrt{5}+5 \sqrt{10}}{5}$.
B. $\sqrt{10}+5$.
C. $\sqrt{2}+\sqrt{13}$.
D. $2 \sqrt{10}+5$.
Câu 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng $30^{0}$. Tính thể tích V của khối chóp SABCD.
A. $V=\frac{\sqrt{6}a^{3}}{3}$.
B. $V=\frac{\sqrt{2}a^{3}}{3}$.
C. $V=\frac{\sqrt{6}a^{3}}{6}$.
D. $V=\sqrt{2} a^{3}$.
Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SD tạo với (SAC) một góc bằng $30^{0}$. Tính thể tích V của khối chóp SABCD.
A. $V=\frac{a^{3}}{3}$.
B. $V=\sqrt{3}a^{3}$.
C. $V=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}$.
D. $V=\frac{2\sqrt{3}a^{3}}{3}$.
Câu 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có $CD=2 BC=2a$, SA vuông góc với đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAC) một góc bằng $45^{0}$. Tính thể tích V của khối chóp SABCD.
A. $V=\frac{\sqrt{15}a^{3}}{15}$.
B. $V=\frac{2\sqrt{15}a^{3}}{15}$.
C. $V=\frac{2\sqrt{15}a^{3}}{5}$.
D. $V=\frac{\sqrt{15}a^{3}}{3}$.
Câu 6: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác BCD cân tại D và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Biết AD hợp với mặt phẳng (ABC) một góc bằng $60^{0}$. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD.
A. $V=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$.
B. $V=\frac{a^{3}}{12}$.
C. $V=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{8}$.
D. $V=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{24}$.
What is the solution to the equation $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$?
The solution to the equation is $z=\sqrt{2}+\sqrt{13}$.
What is the value of $P$ in the equation $|z+2-i|+|z-4-7i|=6 \sqrt{2}$?
The value of $P$ is $P=\frac{5 \sqrt{2}+\sqrt{73}}{2}$.
What is the volume of the pyramid SABCD with base ABCD and height SC?
The volume of the pyramid is $V=\frac{\sqrt{6}a^{3}}{3}$.
This article provides solutions to various math problems, including complex numbers and geometric shapes. By understanding the concepts and applying the appropriate formulas, you can solve these problems effectively. It is important to practice regularly and seek help when needed to improve your math skills.