Trong bài viết này, mình đã sưu tầm và tổng kết lại một số công thức và phương pháp tính nhanh trắc nghiệm trong chuyên đề hàm số.
Phương pháp: $y'=3ax^{2}+2bx+c$
Để hàm số có cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta>0 $ ($\Delta'>0$) hay
$b^{2}-3ac>0$ |
Phương pháp:
Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số $y=x^{3}-4x^{2}+3x-5$
Giải:
Phương pháp:
Cách 1: Gọi $M(x,y)$ là một điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ta có $y'=3ax^{2}+2bx+c=0$.
Hơn nữa, $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(\frac{1}{3}x+\frac{b}{9a})(3ax^{2}+2bx+c)+(\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$
$=(\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
$y=(\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$ |
Cách 2: Tìm hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $y=x^{3}-4x^{2}+3x-5$.
Giải:
Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=(\frac{2}{3}.3-\frac{2.(-4)^{2}}{9})x+(-5)-\frac{-4.3}{9}=-\frac{11}{9}x-\frac{11}{3}.$
Cách 2:
Cách 1: Tính y'
Cách 2: Sử dụng máy tính.
Ví dụ 1: Hàm số $y=\frac{x^{2}-2x-5}{x-2}$ đồng biến trên
A. $(-\infty,0) \cup (3,+\infty)$. | B. $\mathbb{R}$. |
C. $(0,2) \cup (2,4)$. | D. $(-\infty,2) \cup (2,+\infty)$. |
Cách 1:
$y=\frac{x^{2}-2x-5}{x-2}=x-\frac{5}{x-2} \Rightarrow y'=1+\frac{5}{(x-2)^{2}}>0$ với $\forall x \neq 2$.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $ (-\infty,2) \cup (2,+\infty)$. Chọn D.
Cách 2: Sử dụng trực tiếp Casio để thử đáp án.
Ta có định lí sau: Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a,b)$.
$\Rightarrow $ Dùng chức năng tính đạo hàm tại một điểm và gán một giá trị $x_{0}$ nằm trong tập xác định cho trước:
Cụ thể với bài này: Nhấn tổ hợp SHIFT+ tích phân để tính đạo hàm tại một điểm.
Loại đáp án D vì TXĐ $D=\mathbb{R} \setminus \left\{2 \right\}$.
Nhập
thu được kết quả 6>0 nên loại A.
Nhập
thu được kết quả 1,556>0 nên loại C.
Ví dụ 2: Để hàm số $y=x^{3}+3mx^{2}-4mx+4$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì
A. $0 \leq m \leq \frac{4}{3}$. | B. $-\frac{4}{3} \leq m \leq 0$. |
C. $0 \leq m \leq \frac{3}{4}$. | D. $-\frac{3}{4} \leq m \leq 0$. |
Giải:
Bước 1: Nhập dữ liệu với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta gán vào biến Y.
Bước 2: Gán giá trị
Cụ thể:
- Nhập dữ liệu
- Gán giá trị (ấn nút CALC)
+ Gán $m=Y=\frac{3}{4}$ ta có
Kết quả <0 nên loại A và C.
+ Gán $m=Y=-\frac{4}{3}$
Kết quả > 0 nên loại D.
Phương pháp:
- Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn [a,b] và tìm như sau:
Ví dụ: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-9x+35$ trên đoạn $[-1,1]$ là
A. 40. | B. 21. | C. 50. | D. 35. |
Bước 1: MODE 7
Bước 2: Nhập $f(X)=X^{3}-3X^{2}-9X+35$ ấn phím = sau đó nhập Start=-1. End=1. Step= 0.2
Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTLN
Dựa vào bảng trên, ta thấy GTLN của hàm số là 40.
Chú ý: Cách làm này vẫn đúng khi tìm GTLN và GTNN của một hàm số bất kì trên $[a,b]$.
- Tìm GTLN, GTNN của hàm số không cho miền xác định của x.
Phương pháp: Dựa vào đáp án để thử.
Ví dụ: Tìm m để (C): $y=-2x^{3}+6x^{2}+1$ và $d: y=mx+1$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
A. $m< \frac{9}{2}, m\neq 0$. | B. $m>\frac{9}{2}, m\neq 0$. |
C. $m<-\frac{9}{2}, m \neq 0$. | D. $m>-\frac{9}{2}, m \neq 0$. |
Giải: Nhận thấy cả 4 đáp án đều có điều kiện $m \neq 0$ nên ta bỏ qua điều kiện này trong quá trình thử.
- Đầu tiên ta thử với m=5, ta thấy phương trình có 1 nghiệm thực nên loại B, D.
- Thử tiếp với m=0, ta được phương trình có 3 nghiệm thực nên loại C nhận A.
Hàm số $y=(m-x)x^{2}-m$ đồng biến trên $(1,2)$ khi
A. $a>-3$. | B. $a<-3$. | C. $a> \frac{12}{7}$. | D. $a< \frac{12}{7}$. |
Hàm số $y=x^{3}-3(2m+1)x^{2}+(12m+5)x+2$ đồng biến trên khoảng $(2,+\infty)$ khi
A. $-\frac{1}{\sqrt{6}} \leq m \leq \frac{1}{\sqrt{6}} $. | B. $m \leq -\frac{1}{\sqrt{6}}$. | C. $m \geq \frac{5}{12}$. | D. $m \leq \frac{5}{12}$. |
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:
- Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn [a,b] và tìm như sau:
Phương pháp: Dựa vào đáp án để thử.
Đây là một bài viết về chuyên đề hàm số trong môn Toán lớp 12. Nếu bạn quan tâm đến chuyên đề này, bạn có thể tìm hiểu thêm tại trang web Chuyên đề Toán 12.