Tìm hiểu về số phức trên 1.edu.vn - Kiến thức và phép toán số phức

Câu 1: Cho số phức $z+1=i^{2017}+i^{2018}$ . Tìm $|z'|$ biết $z'=\overline{z}+iz$.

Câu 2: Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau

1. $z=(2-5i)(3+i)$
2. $(1+i)z+3=2i-4z$
3. $z=\frac{2+3i}{(4+i)(2-3i)}$

Câu 3: Cho $z_{1}=4-3i+(1-i)^{3}$, $z_{2}=\frac{1+2i-(1-i)^{2}}{1+i}$. Tìm môđun của số phức $z=z_{1}.\overline{z_{2}}$.

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp

Thay $z=a+bi$ vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ giữa x và y: $f(x,y)=0$.

$f(x,y)=0$ là phương trình của đường nào và kết luận tập hợp các điểm z là đường đó.

Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=(z+i)(2+i)$ trong đó z là số phức thỏa $|z - 2| = 3$

Giải: Gọi số phức $w=x+yi$

$w=(z+i)(2+i)=x+yi \Leftrightarrow z=\frac{x+yi}{2+i}-i=\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}$

Mà $|z-2|=3$ nên $|\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}-2|=3 \Leftrightarrow (2x +y-10)^{2} +(2x-y-5)^{2} = 225$ là phương trình biểu diễn tập số phức w.

Bài tập áp dụng

Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn

1. $|z+\overline{z}+3|=4$
2. $(2-z)(i+ \overline{z})$ là số thực
3. $|z-4i|+|z+4i|=10$

Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $w=(1+i \sqrt{3})z+2$ trong đó $|z-1| \leq 2$

Câu 3: Giải hệ phương trình sau với $z$ là ẩn số $\left\{\begin{matrix} |z-1-4i|=3\\ \left| \frac {z+3+2i}{z+\frac{3}{2}-i} \right|=2\\ \end{matrix}\right.$

Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu $w^{2}=z$ hay $(x+yi)^{2}=a+bi$

Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :

+ TH1 : a> 0 $\Rightarrow $ $w = \pm \sqrt{a}$

+ TH2 : a < 0 $\Rightarrow $ $w=\pm i\sqrt{-a}$

Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức:

$(x + yi) ^{2} = a + bi$ hay $ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=a \end{matrix}\right.$

b) Phương trình phức bậc hai

Phương pháp
Xét với phương trình phức bậc hai $Az^{2}+Bz+C=0$

TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính $\Delta=B^{2}-4AC$

+ Nếu $\Delta \geq 0$ thì phương trình có nghiệm thực $z=\frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$

+ Nếu $\Delta<0$ thì phương trình có nghiệm phức $z=\frac{-B \pm i .\sqrt{\Delta}}{2A}$

Hoặc sử dụng máy tính bỏ túi để giải phương trình.

TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức. Tính $\Delta=B^{2}-4AC=a+bi=(x+yi)^{2}$

Khi đó phương trình có nghiệm $z=\frac{-B \pm (x + yi)}{2A}$

Chú ý: Nếu phương trình bậc cao hơn, ta nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình tích (bằng cách sử dụng máy tính)

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức sau $z=-5-12i$

Giải: Gọi $w=x+yi (x,y \in \mathbb{R})$ là căn bậc hai của số phức $z$

Ta có $w^{2}=(x+yi)^{2}=-5-12i \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-5\\ 2xy=-12\\ \end{matrix}\right.$

Với $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.

Với $y \neq 0$ ta có $x=\frac{-6}{y}$ nên $(\frac{-6}{y})^{2}-y^{2}=-5 \Leftrightarrow  \left[ \matrix{y^{2}=9\ \hfill \cr y^{2}=-4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y=\pm 3$

Nếu $y=3$ thì $x=-2$ ta có $w=-2+3i$

Nếu $y=-3$ thì $x=2$ ta có $w=2-3i$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức 

1. $z^{2}+2z+5=0$
2. $(z^{2}+i)(z^{2}-2iz-1)=0$
3. $z^{3}-8=0$

Giải

1. Ta có $\Delta'=-4=4i^{2}$ nên $z=-1 \pm 2i$

2. $(z^{2}+i)(z^{2}-2iz-1)=0$ $\Leftrightarrow z^{2}+i=0$ hoặc $z^{2}-2iz-1=0$

TH1: $z^{2}=-i=(\frac{1-i}{\sqrt{2}})^ {2}$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 5 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.$

TH2: $z^{2}-2iz-1=0 \Leftrightarrow z^{2}-2iz+i^{2}=0 \Leftrightarrow (z-i)^{2}=0 \Leftrightarrow z=i$

3. Nhẩm nghiệm ta thấy có một nghiệm $z=2$. Ta có 

$z^{3}-8=0 \Leftrightarrow (z-2)(z^{2}+2z+4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{z-2 \hfill \cr z^{2}+2z+4=0  \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow  \left[ \matrix{ z=2 \hfill \cr z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\hfill \cr  z=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \hfill \cr } \right.$