Bài tập & Lời giải: Tính M+m cho số phức z thỏa mãn $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun của z. Tính M+m.

A. $\frac{\sqrt{5}+5 \sqrt{13}}{5}$.

B. $\sqrt{5}+5 \sqrt{13}$.

C. $\sqrt{2}+\sqrt{13}$.

D. $\sqrt{2}+2 \sqrt{13}$.

 Giải: Đáp án C

Gọi $z=x+yi, (x, y \in \mathbb{R})$ có điểm M (x,y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có $|z-1-i|+|z-3-2i|=\sqrt{5}$.

$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{5}(1)$.

Đặt A(1,1), B(3,2) thì từ (1) ta có: $AM+BM=\sqrt{5} (2)$.

Mặt khác $\overrightarrow{AB}=(2,1) \Rightarrow AB = \sqrt{5}$ nên M thuộc AB.

Cách 1: Sử dụng hình vẽ 

Nhận xét rằng $\widehat{OAB}$ là góc tù ta có $M=|z_{\max}|=OB=\sqrt{13}$ và $m=|z|_{\min}=OA=\sqrt{2}$.

Vậy $M+m=\sqrt{2}+\sqrt{13}$.

Nhận xét: Một sai lầm thường gặp là đánh giá $|z|_{min}=d(O,AB)=\frac{\sqrt{5}}{5}$ nhưng do góc $\widehat{OAB}$ là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho $ OM \perp AB$.

Cách 2: Sử dụng hàm số

Ta có phương trình đoạn thẳng AB: x-2y+1=0 với $x \in [1,3], y \in [1,2]$.

$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(2y-1)^{2}+y^{2}}=\sqrt{5y^{2}-4y+1}$.

Xét hàm số $f(y)=5y^{2}-4y+1$ với $y\in [1,2].$

$f_{\max}=13, f_{\min}=2$. Suy ra $m=\sqrt{2}, M=\sqrt{13}$.