Câu 2: Trang 99 - sgk hình học 12
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.
a) Tính thể tích của hình nón theo r và h.
b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.
Bài Làm:
a) Ta có: SH = h là chiều cao hình nón.
SS' = 2r là đường kính hình cầu.
Xét tam giác vuông SAS' có: $AH^{2}=SH.S'H=h(2r-h)$
=> $V=\frac{1}{3}\prod. AH^{2}.SH=\frac{1}{3}\prod.h^{2}.(2r-h)$
b) Để $V_{max}<=>\frac{1}{3}\prod. AH^{2}.SH=\frac{1}{3}\prod.h^{2}.(2r-h)$ đạt giá trị lớn nhất.
<=> $2V=\frac{1}{3}\prod. AH^{2}.SH=\frac{1}{3}\prod.h^{2}.(4r-2h)$
<=> $h^{2}.(4r-2h)=h.h.(4r-2h)\leq (\frac{h+h+4r-2h}{3})^{3}=(\frac{4r}{3})^{3}$
Dấu " = " xảy ra <=> $h=\frac{4r}{3}$
=> $V_{max}=\frac{\prod }{6}(\frac{4r}{3})^{3}=\frac{32}{81}\prod r^{3}$.