Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1.edu.vn và 1.edu.vn có phương trình:
Để chứng minh hai đường thẳng 1.edu.vn và 1.edu.vn chéo nhau, ta cần xác định vector chỉ phương của hai đường thẳng và kiểm tra xem chúng có cùng phương hay không.
Phương trình của đường thẳng 1.edu.vn là:
$1.edu.vn: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = -1 \end{cases}$
Phương trình của đường thẳng 1.edu.vn là:
$1.edu.vn: \begin{cases} x = 2t' \\ y = -1 + t' \\ z = t' \end{cases}$
Vector chỉ phương của đường thẳng 1.edu.vn là $\vec{u_{1.edu.vn}} = (-1, 1, -1)$
Vector chỉ phương của đường thẳng 1.edu.vn là $\vec{u_{1.edu.vn}} = (2, 1, 1)$
Do hai vector chỉ phương không cùng phương, ta tiếp tục kiểm tra xem hai đường thẳng có chéo nhau hay không bằng cách giải hệ phương trình:
$\begin{cases} 1 - t = 2t' \\ t = -1 + t' \\ -1 = t' \end{cases}$
Hệ phương trình trên vô nghiệm, do đó hai đường thẳng 1.edu.vn và 1.edu.vn chéo nhau. (đpcm)
Để viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) chứa 1.edu.vn và song song với 1.edu.vn, ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Vector pháp tuyến của mặt phẳng ($\alpha$) là $\vec{n_{\alpha}} = \vec{u_{1.edu.vn}} \times \vec{u_{1.edu.vn}} = (2, -1, -3)$
Phương trình mặt phẳng ($\alpha$) là: $2(x - 1) - (y + 0) - 3(z - 0) = 0$
Tương đương với: $2x - y - 3z - 2 = 0$