Đồ thị hàm số: Công cụ quan trọng trong toán học

Chuyên đề Toán 12: Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

Chuyên đề này không mới nhưng thường gây bối rối và khó khăn cho học sinh. Học sinh thường lúng túng khi gặp các hàm số có dấu trị tuyệt đối, không biết cách phá dấu trị tuyệt đối ra hoặc thường mắc sai lầm khi tự nhiên vứt dấu trị tuyệt đối đi mà không xét điều kiện cho nó.

1. Đồ thị hàm số y=|f(x)|

Phương pháp: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=f(x).

Hàm số y=|f(x)| được xác định như sau:

• Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (C) phía trên trục Ox, đặt là (C₁).
• Phần đồ thị (C) phía dưới trục Ox đem lấy đối xứng qua Ox được phần đồ thị mới đặt là (C₂).
• Đồ thị hàm số y=|f(x)| là (C₁) ∪ (C₂).

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y=|x³+3x²-2| biết đồ thị hàm số y=x³+3x²-2 là:

Giải: Ta có y=|x³+3x²-2|=x³+3x²-2 khi x ∈ [-1-√3,-1] ∪ [-1+√3, +∞) và y=-(x³+3x²-2) khi x ∈ (-∞, -1-√3) ∪ (-1, -1+√3).

Ta thấy đồ thị hàm số y=-(x³+3x²-2) (màu đỏ) là đồ thị đối xứng của đồ thị y=x³+3x²-2 (màu xanh) qua trục Ox.

Đồ thị y=x³+3x²-2 ta chỉ lấy trong khoảng x ∈ [-1-√3,-1] ∪ [-1+√3, +∞) và đồ thị y=-(x³+3x²-2) ta lấy trong khoảng x ∈ (-∞, -1-√3) ∪ (-1, -1+√3). Ta có đồ thị hàm số y=|x³+3x²-2| như sau:

2. Đồ thị hàm số y=f(|x|)

Phương pháp: Gọi (C) là đồ thị hàm số y=f(x).

Ta có y=f(|x|)=f(x) khi x ≥ 0 và y=f(-x) khi x < 0.

Tức là:

• Bên phải trục Oy giữ nguyên (C), đặt là (C₁), bỏ phần (C) còn lại.
• Lấy đối xứng với (C₁) ở trên qua Oy được (C₂).
• Đồ thị hàm số y=f(|x|) là (C₁) ∪ (C₂).

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y=|x|³-3x²+1 biết đồ thị hàm số y=x³-3x²+1 là:

Giải:

y=|x|³-3x²+1=x³-3x²+1 khi x ≥ 0 và y=-x³-3x²+1 khi x < 0

Ta thấy đồ thị hàm số y=-x³-3x²+1 (màu đen) là đồ thị đối xứng của đồ thị hàm số y=x³-3x²+1 (màu nâu) qua trục Oy.

Đồ thị hàm số y=x³-3x²+1 lấy trong khoảng x ≥ 0 và đồ thị hàm số y=-x³-3x²+1 lấy trong khoảng x < 0. Vậy đồ thị hàm số y=|x|³-3x²+1 như sau:

3. Đồ thị hàm số y=|f(x)|. g(x)

Ta có y=|f(x)|.g(x)=f(x).g(x) khi f(x) ≥ 0 và y=-f(x).g(x) khi f(x) < 0.

Phương pháp:

• Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y=f(x).g(x).
• Bước 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số y=f(x).g(x) qua trục Ox ta được đồ thị hàm số y=-f(x)g(x).
• Bước 3: Đồ thị hàm số cần tìm là phần đồ thị hàm số y=f(x).g(x) khi f(x) ≥ 0 và phần đồ thị hàm số y=-f(x).g(x) khi f(x) < 0.

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y=|x-1|.(x²-x-2)

Giải: y=|x-1|.(x²-x-2)=x³-2x²-x+2 khi x ≥ 1 và y=-(x³-2x²-x+2) khi x < 1.

Đồ thị hàm số y=x³-2x²-x+2

Đồ thị hàm số y=x³-2x²-x+2 là đối xứng qua trục Ox với đồ thị hàm số y=-(x³-2x²-x+2).

Đồ thị hàm số y=x³-2x²-x+2 lấy trong khoảng x ≥ 1 và đồ thị hàm số y=-(x³-2x²-x+2) lấy trong khoảng x < 1. Vậy đồ thị hàm số y=|x-1|.(x²-x-2) như sau:

Câu hỏi thường gặp

Câu hỏi 1: Hàm số y=(x-2)(x²-1) có đồ thị như hình bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y=|x-2|(x²-1)?

Đáp án: Đáp án và lời giải chi tiết xem tại đây.

Câu hỏi 2: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

Đáp án:

A. y=|x³-2x²+3x|.

B. y=|x|³-2x²+3|x|.

C. y=|1/3x³-2x²+3x|.

D. y=1/3|x|³-2x²+3|x|.

Đáp án đúng: B. y=|x|³-2x²+3|x|.

Lời giải: Xem lời giải chi tiết tại đây.

Câu hỏi 3: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ ở bên. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y=f(|x|+m) có 5 điểm cực trị.

Đáp án:

A. m>1.

B. m>-1.

C. m <-1.

D. m<1

Đáp án đúng: A. m>1.

Lời giải: Xem lời giải chi tiết tại đây.

Kết luận

Chuyên đề về đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối là một chủ đề quan trọng trong môn Toán lớp 12. Việc hiểu và vẽ đồ thị của các hàm số này sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài tập liên quan. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về cách vẽ đồ thị và tính chất của các hàm số chứa dấu trị tuyệt đối.