Đường thẳng đi qua các điểm cực trị

I.Phương pháp giải

Để giải quyết những bài toán dạng này, ta cần nắm được (xem lại điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba):

• Cách lập phương trình đường thẳng d;
• Một số tính chất của đường thẳng d.

Chú ý:

Hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$.

Chia $f(x)$ cho $f(x)^{'}$ ta được: $f(x)$ = $Q(x)$.$f(x)^{'}$ + Ax + B.

Khi đó nếu $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm cực trị thì:$y_{1} = f_{1} = Ax_{1} + B$. và $y_{2} = f_{2} = Ax_{2} + B$.

Suy ra các điểm $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ nằm trên đường thẳng $y =  Ax + B$.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số $y = -x^{3} + 3mx^{2} + 3(1 - m^{2})x + m^{3}-m^{2}$. Viết phương trình đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho.

Bài giải:

Ta có: $y^{'} = -3x^{2} + 6mx + 3(1-m^{2})$.

Phương trình  $y^{'}=0$ có $\Delta ^{'} = 9 > 0$, với mọi m $\Rightarrow $ đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$.

Chia $y$ cho $y^{'}$ ta được: $y = (\frac{1}{3}x-\frac{m}{3})y^{'} + 2x - m^{2} + m$.

Khi đó: $y_{1} = 2x_{1} - m^{2} + m$;  $y_{2} = 2x_{2} - m^{2} + m$.

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: $y = 2x - m^{2} + m$.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2} + mx$. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0.

Bài giải:

Ta có: $y^{'}=3x^{2}-6x+m$.

Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow y^{'}=3x^{2}-6x+m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ^{'}=9-3m> 0\Leftrightarrow m< 3$.

Ta có: $y=(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3})y^{'}+(\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$.

Do đó đường thẳng $\Delta $ đi qua các điểm cực trị có phương trình: $y= (\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$.

$\Delta $ có hệ số góc là $k_{1}=\frac{2}{3}m-2$.

d: x -2y - 5 = 0 $\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ nên d có hệ số góc là $k_{2}=\frac{1}{2}$

Đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên $d\perp \Delta$.

$\Leftrightarrow k_{1}.k_{2}=-1\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\frac{2}{3}m-2)=-1\Leftrightarrow m=0$.

Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; -4), nên trung điểm của chúng là I(1; -2).

Ta thấy I(1; -2) thuộc đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua đường thẳng d.

Vậy m = 0.