Câu 2: Trang 91, 92 - sgk hình học 12
Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
b) Lập phương trình của mặt cầu (S).
c) Lập phương trình của mặt phẳng ($\alpha$) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.
Bài Làm:
a) Tâm mặt cầu S là trung điểm AB.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;2;2)$
=> $AB=\sqrt{(-4-6)^{2}+(0-2)^{2}+(7+5)^{2}}=2\sqrt{62}$
=> $I(1;1;1)$.
$R=IA=\frac{AB}{2}=\sqrt{62}$
=> Phương trình mặt cầu có tâm $I(1;1;1)$ và $R=\sqrt{62}$
b) Phương trình mặt cầu là: $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}= 62$
<=> $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z - 59 = 0$
c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A chính là mặt phẳng qua A và vuông góc với bán kính IA.
Ta có: $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=\overrightarrow{IA}=(5;1;-6)$
=> Phương trình mp($\alpha$) là: $5(x - 6) + 1(y - 2) - 6(z + 5) = 0$
<=> $5x + y - 6z - 62 = 0$