Câu 3: Trang 92 - sgk hình học 12
Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) chứa AB và song song với CD.
Bài Làm:
a) Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-1;2;-7)$
$\overrightarrow{BD}=(0;4;-6)$
=> $\overrightarrow{n_{BCD}}=\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BD}=(8;-3;-2)$
=> Phương trình mặt phẳng (BDC) là: $8x-3y-2z+4=0$
Thay toạ độ của A vào phương trình mp(BCD) ta có:
$8.(-2) - 3.6 - 2.6 + 4 = -42 \neq 0$
=> Điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
=> ABCD là một tứ diện. (đpcm)
b) Chiều cao AH là khoảng cách từ A đến mp(BCD):
$AH=d(A,(BCD))=\frac{\left | 8.(-2)-3.6-2.3+4 \right |}{\sqrt{8^{2}+(-3)^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{36}{\sqrt{77}}$
c) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;-6;3)$
$\overrightarrow{CD}=(1;2;1)$
=> $\overrightarrow{n_{\alpha}}=\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{CD}=(1;0;-1)$
=> Phương trình mặt phẳng (BDC) là: $x-z+5=0$