Dạng 4: Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$. Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn một điều kiện nào đó.
Bài Làm:
Ta giải bài toán theo hai bước:
Bài tập 1: Cho hàm số $y = x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 9x - m$, với m là tham số. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại $x_{1}$, $x_{2}$ sao cho | $x_{1}$ - $x_{2}$| $\leq $ 2.
Bài giải:
Ta có $y^{'} = 3x^{2} - 6(m + 1)x + 9$.
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại $x_{1}$, $x_{2}$ $\Leftrightarrow y^{'} = 3x^{2} - 6(m + 1)x + 9$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$.
$\Leftrightarrow$ $\bigtriangleup ^{'} = 9.((m + 1)^{2} - 3 )> 0 $ $\Leftrightarrow m > -1 + \sqrt{3}$ hoặc $m < -1 - \sqrt{3}$ (1).
+) Theo định lí Vi-ét ta có: $x_{1}$ + $x_{2}$ = 2(m + 1); $x_{1}$.$x_{2}$ = 3. Khi đó:
|$x_{1}$ - $x_{2}$| $\leq $ 2 $\Leftrightarrow$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ - 4$x_{1}$.$x_{2}$ $\leq 4$.
$\Leftrightarrow 4(m + 1)^{2} - 12 \leq 4$.
$\Leftrightarrow (m + 1)^{2} \leq 4$.
$\Leftrightarrow -3 \leq m \leq 1$ (2).
Từ (1) và (2) ta có: $-3 \leq m < -1 - \sqrt{3}$ và $-1 + \sqrt{3}< m\leq 1$.
Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m - 1)x^{2} + 3(m -2)x + \frac{1}{3}$,với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1} + 2x_{2} = 1$.
Bài giải:
Ta có: $y^{'} = x^{2} - 2(m -1)x + 3(m -2).$
Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow $ $y^{'} = x^{2} - 2(m -1)x + 3(m -2)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$.
$\Leftrightarrow $ $\bigtriangleup ^{'} = m^{2} - 5m + 7 > 0$ (đúng với mọi m).
Khi đó ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2(m -1)\\ x_{1}.x_{2} = 3(m -2) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x_{2} = 3 - 2m\\ x_{2}.(1 - 2x_{2})= 3(m -2)\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 8m^{2} - 19m + 9 = 0$.
$\Leftrightarrow $ $m = \frac{-19 +\sqrt{73}}{16}$ hoặc $m = \frac{-19 -\sqrt{73}}{16}$.