Dạng 4: Tính tích phân của phân thức có bậc của tử số lớn hơn bậc mẫu số.
Bài Làm:
Ta chia tử số cho mẫu số được một đa thức với phần dư. Ta tiếp tục tiến hành tính tích phân với phần dư.
Bài tập 1: Tính $I=\int_{1}^{2}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}$.
Bài giải:
Ta có:
$I=\int_{1}^{2}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\int_{1}^{2}\left ( x+\frac{1}{x+1} \right )dx$
$=\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x+1}dx$
$=2+ln3-\frac{1}{2}-ln2$
$=\frac{3}{2}+ln\frac{3}{2}$
Bài tập 2: Tính $I=\int_{0}^{1}\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+1}dx$.
Bài giải:
Ta có:
$I=\int_{0}^{1}\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+1}dx=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}+1+2x}{x^{2}+1}dx$
$=\int_{0}^{1}\frac{(x^{2}+1)+2x}{X^{2}+1}dx=\int_{0}^{1}(1+\frac{2x}{x^{2}+1})dx$
$=\int_{0}^{1}dx+\int_{0}^{1}\frac{d(x^{2}+1)}{x^{2}+1}$
$=1+ln2$