Dạng 4: Tính tích phân của phân thức có bậc của tử số lớn hơn bậc mẫu số.

I.Phương pháp giải

Ta chia tử số cho mẫu số được một đa thức với phần dư. Ta tiếp tục tiến hành tính tích phân với phần dư.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính $I=\int_{1}^{2}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}$.

Bài giải:

Ta có:

$I=\int_{1}^{2}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\int_{1}^{2}\left ( x+\frac{1}{x+1} \right )dx$

$=\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x+1}dx$

$=2+ln3-\frac{1}{2}-ln2$

$=\frac{3}{2}+ln\frac{3}{2}$

Bài tập 2: Tính $I=\int_{0}^{1}\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+1}dx$.

Bài giải:

Ta có:

$I=\int_{0}^{1}\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+1}dx=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}+1+2x}{x^{2}+1}dx$

$=\int_{0}^{1}\frac{(x^{2}+1)+2x}{X^{2}+1}dx=\int_{0}^{1}(1+\frac{2x}{x^{2}+1})dx$

$=\int_{0}^{1}dx+\int_{0}^{1}\frac{d(x^{2}+1)}{x^{2}+1}$

$=1+ln2$