Bài 8: Trang 26 - sgk hình học 12
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, Sd sao cho AB' vuông góc với SB, AD' vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB'D) cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
Bài Làm:
Ta có $\left.\begin{matrix} SA \perp BC\\ AB \perp BC \end{matrix}\right\} \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AB'$.
Mà $AB' \perp SB \Rightarrow AB' \perp SC$.
Chứng minh tương tự $AD' \perp SC$.
$\Rightarrow SC \perp (AB'C'D')$
Từ $AB' \perp (SBC) \Rightarrow AB' \perp B'C'$
Tương tự $AD' \perp D'C'$.
Từ kết quả trên ta thu được $V_{AB'C'D'}=\frac{1}{3}SC'. \frac{1}{2}(AB'. B'C'+AD'.D'C')=\frac{1}{6}SC'.(AB'. B'C'+AD'.D'C')$.
Xét tam giác vuông SAB có AB' là đường cao nên
$\frac{1}{AB'^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\Rightarrow AB'=\frac{ac}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}$.
Tương tự $AD'=\frac{bc}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$.
Ta lại có $SC^{2}=AC^{2}+SA^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\Rightarrow SC=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.
Xét tam giác SAC có AC' là đường cao thuộc cạnh huyền nên $SC'=\frac{SA^{2}}{SC}=\frac{c^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$.
$\Delta SBC$ đồng dạng $\Delta SC'B'$ nên $\frac{B'C'}{BC}=\frac{SC'}{SB}$
$\Rightarrow B'C'=\frac{SC'.BC}{SB}=\frac{bc^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}.\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
Tương tự ta có $D'C'=\frac{c^{2}a}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
vậy $V=\frac{1}{6}\frac{abc^{5}(a^{2}+b^{2}+2c^{2})}{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$.