Câu 1: Trang 91 - sgk hình học 12
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.
Bài Làm:
a) Phương trình mp(ABC): $x+y+z-1=0$
=> $x_{D}+y_{D}+z_{D}-1=-1+1-1-1=-2\neq 0$
=> $D\notin mp(ABC)$
Vậy A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. (đpcm)
b) Ta có: $\cos (AB,CD)=\frac{\left | \overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD} \right |}{AB.CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
=> $\widehat{AB,CD}=45^{\circ}$
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng $45^{\circ}$.
c) Ta có: $\overrightarrow{BC}=(0;-1;1)$
$\overrightarrow{BD}=(-2;0;-1)$
=> $\overrightarrow{n_{BCD}}=\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BD}=(1;-2;-2)$
=> Phương trình mặt phẳng (BDC) là: $x-2y-2z+2=0$
=> $h=AH=d(A,(BCD))=\frac{\left | 1-0-0+2 \right |}{\sqrt{1+4+4}}=1$
Vậy độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng 1.