Câu 3: Trang 39 - sgk hình học 12
Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.
Bài Làm:
a) Giả sử SA = l là độ dài đường sinh, SH = h là chiều cao hình nón.
Trong tam giác vuông SOA ta có:
$SA^{2}=SO^{2}+OA^{2}=h^{2}+r^{2}=20^{2}+25^{2}=1025
=> $SA=\sqrt{1025}$
Diện tích xung quanh hình nón là:
$S_{xq}=π.r.l=π.25\sqrt{1025}≈2514,5(cm^{2})$
b) Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}π.r^{2}.h=\frac{1}{3}π.25^{2}.20≈13083,3(cm^{3})$
c) Giả sử thiết diện SAB đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy tại A và B. Gọi I là trung điểm cỉa dây cung AB. Từ tâm O của đáy vẽ OH vuông góc với SI.
Ta có: $\left\{\begin{matrix}AB\perp OI & \\ AB\perp SO & \end{matrix}\right.=> AB\perp (SOI)$
=> $AB\perp OH$
Mà: $\left\{\begin{matrix}OH\perp AH & \\ OH\perp SI & \end{matrix}\right.=> OH\perp (SAB)$
<=> $OH=12(cm)$
Xét tam giác vuông SOI, có: $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OI^{2}}+\frac{1}{OS^{2}}$
=> $\frac{1}{OI^{2}}=\frac{1}{OH^{2}}-\frac{1}{OS^{2}}$
<=> $\frac{1}{OI^{2}}=\frac{1}{12^{2}}-\frac{1}{20^{2}}$
<=> $OI=15(cm)$
Xét tam giác vuông AOI, có: $AI^{2}=OA^{2}-OI^{2}=25^{2}-15^{2}=20^{2}$
=> $AI=20(cm)$
Mặt khác: $SI.OH=SO.OI=>SI=\frac{SO.OI}{OH}$
<=> $SI=\frac{20.15}{12}=15(cm)$
=> Diện tích thiết diện SAB là: $S_{SAB}=\frac{1}{2}SI.AB=25.20=500(cm^{2})$